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problemas contextualizados como estrategia de enseñanza – aprendizaje de las estructuras
aditivas. Dialógica, Revista Multidisciplinaria, 22(1), 131-158.
Universidad Pedagógica Experimental Libertador
Vicerrectorado de Investigación y Postgrado
Instituto Pedagógico “Rafael Alberto Escobar Lara”
Subdirección de Investigación y Postgrado
Autor: Oscar Andrés Ramírez Moreno
andresoscar12@gmail.com
https://orcid.org/0009-0009-3474-2647
I.E.T.I. Antonio José Camacho
Cali – Valle del Cauca. Colombia
Autor: Rosembert López Betancourt
rosembertlopezbetancourt@gmail.com
https://orcid.org/0009-0007-1467-9877
Institución Educativa Semilla de la Esperanza
Palmira – Valle del Cauca. Colombia
PP. 131-158
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
CONTEXTUALIZADOS COMO ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA –
APRENDIZAJE DE LAS ESTRUCTURAS ADITIVAS
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RAZONAMIENTO MATEMATICO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS
COMO ESTRATEGIA DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE DE LAS ESTRUCTURAS ADITIVAS
Autor: Oscar Andrés Ramírez Moreno
andresoscar12@gmail.com
https://orcid.org/0009-0009-3474-2647
I.E.T.I. Antonio José Camacho
Cali – Valle del Cauca. Colombia
Autor: Rosembert López Betancourt
rosembertlopezbetancourt@gmail.com
https://orcid.org/0009-0007-1467-9877
Institución Educativa Semilla de la Esperanza
Palmira– Valle del Cauca. Colombia
Recibido: Septiembre 2024
Aceptado: Diciembre 2024
Resumen
La investigación se centró en la aplicación del razonamiento matemático en los
estudiantes de 3° de Educación básica Primaria de la IE Semilla de la Esperanza en
Colombia, como estrategia para la resolución de problemas aritméticos de las estructuras
aditivas, clasificadas en cuatro categorías. Se desarrolló bajo un enfoque cualitativo y un
paradigma post-positivista, utilizando el método de estudio de casos y el método IAP.
Inicialmente, se aplicó una prueba diagnóstica y posteriormente se realizaron cuatro
sesiones de intervención de aula, donde se emplearon diferentes estrategias pedagógicas
para la resolución de situaciones problemas del contexto. Además, se promovió la
discusión y la colaboración entre los estudiantes para fomentar un aprendizaje
compartido y reflexivo. Se concluyó que el razonamiento matemático es una herramienta
de enseñanza efectiva para abordar las operaciones aditivas. Como resultado, se aportan
perspectivas sobre la implementación de estrategias de razonamiento en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas
Palabras Clave: Razonamiento, aritmética, aprendizaje, resolución de problemas,
enseñanza.
MATHEMATICAL REASONING AND CONTEXTUALIZED PROBLEM-SOLVING AS A
TEACHING-LEARNING STRATEGY FOR ADDITIVE STRUCTURES
Abstract
The research focuses on the application of mathematical reasoning in 3rd grade students
of Primary Basic Education at Semilla de la Esperanza school in Colombia, as a strategy for
solving arithmetic problems of additive structures, classified into four categories. The
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research was developed under a qualitative approach and a post-positivist paradigm,
using the case study method and the IAP method. Initially, a diagnostic test was applied
and subsequently four classroom intervention sessions were held, where different
pedagogical strategies were used to solve problem situations in the context. In addition,
discussion and collaboration between students were promoted to encourage shared and
reflective learning. It was concluded that mathematical reasoning is an effective teaching
tool to address additive operations. As a result, perspectives are provided on the
implementation of reasoning strategies in the teaching-learning process of mathematics.
Key words: Reasoning, arithmetic, learning, problem solving, teaching.
Introducción
En este trabajo se abordan los temas de razonamiento matemático y estructuras
aditivas; y, por esta razón, se inicia resaltando que, el razonamiento matemático es una
habilidad principal en el desarrollo cognitivo y académico de los educandos,
permitiéndoles no solo resolver problemas matemáticos, sino también aplicar el
pensamiento lógico en diversos contextos cotidianos.
Bajo esta perspectiva, se inscribe una posibilidad de comprender de forma amplia el
razonamiento, como el proceso mental mediante el cual las personas utilizan la lógica
para llegar a conclusiones, a partir de premisas o información dada. Es una habilidad
cognitiva fundamental que permite analizar situaciones, resolver problemas, tomar
decisiones y formar juicios basados en evidencias y hechos.
De igual manera, el razonamiento matemático es una piedra angular en la educación
matemática, desempeñando un papel trascendental en el desarrollo del pensamiento
crítico y analítico. Más allá de ser una mera colección de técnicas y procedimientos, el
razonamiento matemático implica la habilidad de entender, justificar y compartir ideas
matemáticas de manera coherente y lógica. Este proceso abarca desde la identificación y
formulación de problemas, pasando por la elaboración de estrategias para su resolución,
hasta la verificación y comunicación de las soluciones encontradas.
Por otro lado, para Castro et al., (1995) está el hecho de investigar cómo el
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razonamiento matemático influye en el aprendizaje de las estructuras aditivas. Sin
embargo, se hace necesario mencionar que las estructuras aditivas se refieren a las
relaciones y operaciones que involucran la suma y la resta. Estas operaciones no solo son
esenciales para la aritmética básica, sino que también componen los fundamentos para la
comprensión de conceptos cada vez más complejos en matemáticas, como el álgebra y el
cálculo. La comprensión profunda de estas estructuras permite a los estudiantes
desarrollar destrezas para descomponer en partes sencillas los problemas complejos,
reseñar modelos y formular estrategias eficientes para la resolución de problemas.
Por esta razón, empezar las matemáticas sin sentido y luego pasar de este
procedimiento a la realidad, no es coherente a lo que se debería hacer, con referencia a lo
propuesto en este trabajo de investigación. Por consiguiente, como lo menciona Kamii
(como lo citaron Bedoya y Holguín, 2018) “si uno de los fines de la enseñanza de la
aritmética es capacitar a los niños para la resolución de problemas de la vida real hemos
de animarlos a tratar con problemas desde el primer día de entrar en clase” (p. 30).
Este hecho determina el rumbo de las estructuras aditivas, al camino de la
clasificación de los problemas que se desarrollan con un algoritmo de adición o
sustracción. Por este motivo, es importante la clasificación de problemas propuesta por
Nesher (1986), la cual se basa en la estructura semántica de los mismos, donde se pueden
identificar cuatro categorías principales en situaciones características del ámbito escolar,
resultantes del uso de operaciones como la suma y la resta; (Castro et al., 1995) conocidos
como “categoría de cambio, categoría de combinación, categoría de comparación y
categoría de igualación” (p. 38).
Este trabajo explora, cómo las estructuras aditivas y sus categorías en los problemas
pueden ser enseñadas a través del razonamiento matemático, analizando estrategias
pedagógicas que fomentan una comprensión conceptual sólida y la habilidad de hallar
soluciones de manera ingeniosa y eficaz a situaciones problemas. Al mismo tiempo, se
discutirán los beneficios de esta estrategia, así como los desafíos que los educadores
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pueden enfrentar al implementarla en el aula.
Este hecho parece determinar que, la importancia de su estudio en la actualidad
permite crear ambientes de aprendizaje que potencien en los estudiantes destrezas para
plantear, reflexionar las soluciones obtenidas en problema, diseñar preguntas y analizar
modelos, dando paso a su razonamiento matemático como puente de un nuevo
aprendizaje de las matemáticas. Como lo afirma Polya (1945):
...Sólo los grandes descubrimientos permiten resolver los grandes problemas,
hay, en la solución de todo problema, un poco de descubrimiento; pero que, si
se resuelve un problema y llega a excitar nuestra curiosidad, este género de
experiencia, a una determinada edad, puede determinar el gusto del trabajo
intelectual y dejar, tanto en el espíritu como en el carácter, una huella que
durará toda una vida. (p. 5)
El estudio del razonamiento matemático es de gran importancia en la actualidad,
porque promueve habilidades de pensamiento crítico y lógico. Los estudiantes aprenden a
analizar problemas, identificar patrones y desarrollar estrategias efectivas para
resolverlos. El razonamiento matemático no solo es fundamental para el éxito académico
en matemáticas, sino que también es una habilidad vital en la vida diaria y en diversas
disciplinas profesionales.
La capacidad de razonar matemáticamente permite a los individuos abordar
problemas complejos, analizar datos de manera crítica y tomar decisiones informadas
basadas en evidencia cuantitativa. En un mundo cada vez más impulsado por la tecnología
y los datos, estas habilidades son más importantes que nunca; lo cual es valioso, no solo
en matemáticas sino en todas las áreas del conocimiento.
Con referencia a los procesos de razonamiento descritos y desde el punto de vista
del ámbito escolar, se evidencian dificultades en su aplicación por parte de los
estudiantes, esto es, en el momento de abordar una situación problema del área de
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matemáticas, no se detienen a pensar de forma reflexiva los procedimientos que están
haciendo, ni se enfocan en comprender el uso efectivo de algoritmos aritméticos como
apoyo a encontrar las respuestas que justifique una solución. En consecuencia, en el
instante de abordar una situación problema los educandos no comprenden lo que deben
de realizar, tampoco encuentran la manera de cómo lo pueden de hacer, no hacen uso de
la razón ya que, ni se esfuerzan para analizar y resolver detalladamente estos problemas.
Se ha argumentado en ocasiones que, desde edades tempranas los niños exploran y
hacen uso de sus capacidades de razonamiento para solucionar situaciones que están
enlazadas a su normal desarrollo cognitivo. En tal sentido, la educación infantil introduce
en su currículo el desarrollo de habilidades lógicas que favorezcan la representación y
comunicación de ideas, complementada por la comprensión de conceptos y
procedimientos que validen sus actividades realizadas. Al mismo tiempo, estas habilidades
que realizan los infantes desde edades tempranas y de forma natural, relacionando su
medio y la necesidad social de expresar una representación, deben estar intrínsecos en los
contenidos a trabajar. Por lo tanto, esta relación hará que el niño comprenda que su
relación con los objetos esta mediada por la manipulación, comprensión, reflexión y
comunicación.
Otro hecho que limita el abordaje de esta estrategia, es la falta de acceso de
recursos didácticos, manipulativos y recursos que apoyen el razonamiento matemático.
Sin estos recursos, puede ser difícil para los profesores crear experiencias de aprendizaje
significativas que promuevan la comprensión de las estructuras aditivas. Además, los
profesores a menudo tienen que cubrir una gran cantidad de contenido en un tiempo
limitado, lo que puede dificultar la implementación de actividades que fomenten el
razonamiento matemático.
Esto puede llevar a un enfoque más superficial y rápido sobre los temas. Al mismo
tiempo, el afán de preparar a los estudiantes para que mejoren los resultados en las
evaluaciones estandarizadas hace que los profesores se concentren en enseñar métodos y
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técnicas específicas que son evaluadas en los exámenes, en detrimento del razonamiento
matemático y la comprensión profunda.
De igual modo, los métodos tradicionales de enseñanza que se centran en la
repetición y la práctica rutinaria son difíciles de cambiar. La resistencia a adoptar nuevas
metodologías que promuevan el razonamiento matemático puede ser un obstáculo
significativo. Por este pretexto, las prácticas educativas pueden ser difíciles de cambiar,
especialmente si los profesores han estado utilizando los mismos métodos durante
muchos años. La inercia y la comodidad con las prácticas tradicionales pueden hacer que
los docentes sean reacios a adoptar nuevas estrategias de enseñanza.
Estos hechos parecen determinar que las competencias propias del razonamiento
matemático y las estructuras aditivas, se potencias a través de su vinculación con el
contexto. Por ello, la caracterización de los estudiantes debe tener en cuenta su edad y
nivel de desarrollo.
Por esta razón, se debe tener como punto de partida las concepciones informales
del razonamiento que son innatas en los estudiantes de ciclos educativos inferiores, para
avanzar a ciclos superiores con niveles más elaborados de razonamiento. Por
consiguiente, en el área de matemáticas se debe llegar a la meta de lograr una
articulación completa de las competencias propias del razonamiento, de tal forma, que
para los estudiantes sea habitual en cualquier situación reconocer el por qué y el cómo
vincular sus conocimientos a la argumentación de estrategias y procedimientos,
reflexionando su accionar en el tratamiento de resolución de problemas.
Bajo esta perspectiva, lo que se busca con el razonamiento matemático en los niños
del nivel educativo de tercer grado, de la Institución Educativa Semilla de la Esperanza,
sede Heliodoro Villegas, ubicada en el corregimiento la Pampa, de la zona rural del
municipio de Palmira Valle, es la apropiación de argumentos que permita evidenciar sus
ideas, entendiendo que las matemáticas más que memorizar formulas y procesos
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algoritmos, son razonables y favorece la competencia reflexiva. Entonces, para beneficiar
el proceso de este pensamiento, se debe generar espacios que motive a los educandos a
verificar, utilizar ideas y explorarlas.
Por tanto, este trabajo tiene como objetivo explorar el desarrollo del razonamiento
matemático a través de las estructuras aditivas, examinando cómo los estudiantes
comprenden y utilizan las operaciones de suma y resta en diferentes contextos. Se
analizarán diversas estrategias pedagógicas que pueden facilitar esta comprensión y se
discutirán los desafíos comunes que enfrentan los alumnos en este proceso. Además, se
presentarán ejemplos prácticos y actividades diseñadas para reforzar el aprendizaje de las
estructuras aditivas y la clasificación de problemas, de acuerdo a sus categorías de
cambio, combinación, comparación e igualación.
Marco teórico
Cuando se menciona el término razonamiento, este se relaciona directamente con la
acción del ser humano para organizar sus ideas y dar solución a problemas que surgen en
su vida diaria. Según (Pachón et al., 2016) “el razonamiento es una actividad mental, que
se ejecuta en determinadas situaciones en las que una persona debe asociar
conocimientos previos a los que se le presentan como nuevos para luego sacar
conclusiones al respecto; es decir, construir nuevo conocimiento” (p. 225). Por lo tanto,
esta idea permite afirmar que el razonamiento es el camino por el cual el ser humano ha
construido y generado nuevos saberes.
Asimismo, profundizando en este aspecto afirman Llanga et al. (2019) que “se
entiende como razonamiento al producto de un conjunto de habilidades cognitivas
complejas a través de las cuales somos capaces de relacionar y vincular diferentes
informaciones de forma estructurada, una vinculación que permite establecer diferentes
estrategias, argumentos y conclusiones” (p. 4).
Por otra parte, Salvatierra et al. (2019) relacionan que “el conocimiento matemático
es una de las disciplinas que permite fortalecer la capacidad de razonamiento, en cuanto
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a; abstracción, toma de decisiones, análisis, síntesis, predecir, sistematizar y resolver
problemas de orden lógico o heurístico” (p. 3). Esto indica que, en los procesos de
aprendizaje de las matemáticas se deben fortalecer las habilidades y destrezas que
favorezcan la implementación del razonamiento como una competencia en el área de
matemáticas. De acuerdo a (Rico, 2007) “las competencias o procesos que deben activarse
para conectar el mundo real, donde surge el problema, con las matemáticas y resolver
entonces la cuestión planteada” (p. 53). También, se menciona los aportes de Fuerte y
Guevara (2023):
…Cuando se hace mención de la competencia de razonamiento cuantitativo,
no solo se relaciona el análisis, también involucra la argumentación; para lo
cual, el estudiante debe tener un grado de comprensión fundamental de la
problemática, facilitándole la toma de decisiones e implementación de
estrategias que permitan la valoración cuantitativa de la información. (p. 69)
Por este pretexto, la relación que existe entre las matemáticas y el razonamiento
matemático es fundamental para la construcción de aprendizajes en esta área del
conocimiento, pero es importante mencionar que la importancia de la aplicación de las
habilidades comprendidas desde el razonamiento está vinculada directamente con la
resolución de problemas. Según Rico (2007):
… Utilizar y hacer matemáticas en una variedad de situaciones y contextos es
un aspecto importante de la Alfabetización Matemática. Trabajar con
cuestiones que llevan por sí mismas aun tratamiento matemático, a la elección
de métodos matemáticos y representaciones, depende frecuentemente de las
situaciones en las cuales se presentan los problemas. (p. 56)
Es decir que, al hacer uso del razonamiento matemático para la resolución de
problemas, esta contribuye a un aprendizaje que favorezca la alfabetización matemática,
lo que permitirá una transposición de los conceptos aprendidos con los algoritmos,
propiedades y modelos en los diversos contextos cotidianos.
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Sin embargo, como lo afirma Urdiain (2006), “más que enseñar a los alumnos a
resolver problemas, se trata de enseñarles a pensar matemáticamente, es decir, a que
sean capaces de abstraer y aplicar ideas matemáticas a un amplio rango de situaciones”
(p. 10). Por este motivo, hacer uso de las competencias del razonamiento, permitirá que
los estudiantes hagan una acertada aplicación de las operaciones matemáticas, no como
un resultado que satisfaga la resolución del problema, sino como una elección realizada a
través de un proceso de reflexión que le permita reconocer los procedimientos de
resolución como una forma de profundizar y adquirir nuevos aprendizajes.
Autores como Polya (1965) afirman que “estudiando los métodos de solución de
problemas, percibimos otra faceta de las matemáticas” (p. 7). También, Carrillo, citado por
Ayllón et al. (2016) menciona que “uno de los marcos idóneos para la construcción de un
aprendizaje significativo es la resolución de problemas, ya que contribuye a aumentar el
gusto por la matemática y fomenta el desarrollo de una actitud crítica y abierta” (p. 178).
En tal sentido, la resolución de problemas debe presentar a los estudiantes una
oportunidad de fortalecer sus conocimientos y aplicabilidad de los mismos en sus
contextos diversos, pero también se deben convertir en una fuente de motivación que
despierte en ellos el interés y el gusto por las dinámicas de aprendizajes que les presenta
las matemáticas en el marco del razonamiento matemático.
Profundizando en la temática de la resolución de problemas, se llega a las
estructuras aditivas, donde la suma y la resta son las operaciones protagonista más
sencillas para el planteamiento y solución de situaciones problemas. De acuerdo con
Castro, et al (1995):
…problemas de estructuras aditivas son aquellos que se resuelven con una
operación de suma o resta. De ello podemos hacer varias clasificaciones
dependiendo del tipo de variable que consideremos. Los problemas simbólicos
de estructuras aditivas variarán según la sentencia abierta dada en el
problema. Cambiando la incógnita se genera seis sentencias abiertas para la
suma y otra seis para la resta. (p. 37)
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Al mismo tiempo, las estructuras aditivas en la resolución de situaciones problemas
presentan diferentes formas para ser resuelta, de tal manera que se puede utilizar varias
operaciones o una sola operación. Por ejemplo, Ordoñez (2014) hace referencia a la
solución de problemas con una solo operación, y menciona que diversos autores
establecieron cuatro categorías semánticas: cambio, combinación, comparación e
igualación. De aquí que consideremos de gran importancia la clasificación de situaciones
problemas referenciando las estructuras aditivas con estas cuatro categorías dentro de las
operaciones de la adición y la sustracción.
En primer lugar, iniciaremos con la categoría de cambio, entendiéndola como una
transformación de la cantidad inicial debido a la adición o la sustracción, dando como
resultado una cantidad final, según Castro, et al. (1995):
…La categoría de cambio en la que los problemas implican un incremento o
disminución de una cantidad inicial hasta crear una serie final. En estos
problemas hay implícita una acción. Intervienen tres cantidades, una inicial,
otra de cambio y una final. La cantidad desconocida puede ser cualquiera de
ellas por lo que da lugar a tres tipos de problemas. El cambio puede ser de
aumento (cambio-unión) o de disminución (cambio-separación) por lo que hay
dos modalidades para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de
doce el número de problemas de cambio que se pueden formular. (p. 38)
Por tanto, esta categoría es muy significativa y útil para desarrollar razonamiento
matemático y las habilidades de resolución de problemas en niños, ya que exige
establecer relaciones entre cantidad iniciales, transformación y cantidades finales. Por
consiguiente, trabajar con la categoría de cambio invita a los estudiantes a explorar la
dinámica de las cantidades y sus transformaciones.
Posteriormente, la categoría de combinación en las estructuras aditivas hace
referencia a situaciones donde se reúnen o juntan dos o más cantidades para obtener un
total. Por esta razón, es preciso citar a Castro, et al. (ob. cit.):
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…son los problemas de combinación o parte-parte-todo. Hacen referencia a la
relación que existe entre una colección y dos subcolecciones disjuntas de la
misma. La diferencia fundamental entre estas dos categorías de problemas es
que la combinación no implica acción. Un problema de combinación tiene tres
cantidades relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas. (p. 39)
En consecuencia, esta categoría es fundamente para los estudiantes ya que, les
permite identificar partes dentro de un todo, además, comprender la adición como un
proceso de unir cantidades y, ver la sustracción como una forma de separar o
descomponer las cantidades.
Asimismo, la categoría de comparación en las estructuras aditivas es otro tipo de
situación problema en donde dos cantidades o conjuntos se comparan para poder
determinar una relación entre ellos, este tipo de problema se enfoca en las relaciones de
diferencia entre cantidades. En este sentido para Castro, et al. (ob. Cit.):
…implican una comparación entre dos colecciones. La relación entre las
cantidades se establece utilizando los términos “más que”, “menos que”. Cada
problema de comparación tiene tres cantidades expresadas: Una cantidad de
referencia, una cantidad comparativa y otra de diferencia. Hay seis tipos de
problemas de comparación. (p. 39)
Por tal razón, es preciso afirmar que estos problemas implican establecer una
relación entre cantidades, donde una se toma como referencia. Por ejemplo, si Carlos
tiene 15 carros y Jorge tiene 7 carros más, entonces la pregunta sería ¿Cuántos carros
tiene Jorge? Permite a los estudiantes interpretar la resta no solo como quitar o disminuir
sino como una comparación, en tal sentido, permite reflejar problemas cotidianos donde
la comparación es necesaria, haciendo que se genere un aprendizaje más reflexivo.
Finalmente, la categoría de igualación en las estructuras aditivas hace referencia a
situaciones problemas, en la que se busca igualar dos cantidades mediante las
operaciones de la adición y la sustracción de una cantidad específica. Como resultado,
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combina elementos de los problemas de cambio y comparación como lo menciona Castro,
et al. (ob. Cit.):
… puede considerarse “a caballo” entre las de cambio y comparación ya que se
produce alguna acción relacionada con la comparación entre dos colecciones
disjuntas. Hay que responder qué hacer con una de colecciones para que
presente el mismo número de elementos que la otra. (p. 40)
De acuerdo a lo anterior, en este tipo de problemas, el valor que se debe hallar, es
decir la incógnita, generalmente está relacionada con cuánto se debe añadir o quitar para
que ambas cantidades sean iguales. Por ejemplo, si queremos saber cuántas manzanas
necesita Patricia para igualar la cantidad que tiene su amiga, les permite a los estudiantes
comprender que ambas operaciones están relacionadas y pueden ser usadas para resolver
problemas en distintos contextos. Además, ayuda a los niños a establecer relaciones entre
las cantidades y refleja situaciones cotidianas, como repartir recursos de manera
equitativa, lo que podría ir facilitando el proceso de enseñanza aprendizaje más
significativo.
Materiales y métodos
La mejor manera de realizar el proceso de investigación fue la metodología del
estudio de caso (Chaves y Weiler, 2016; Yacuzzi, 2005); a través de la Investigación Acción
Participantes (IAP), con el objetivo de obtener una comprensión profunda y detallada del
fenómeno estudiado, ya que se reconoció el razonamiento matemático como una
dificultad, que advierte una atención especial en lo que corresponde al proceso de
implementación en el salón de clase. Estos métodos permitieron analizar minuciosamente
las experiencias individuales y contextuales de los estudiantes en relación con el
razonamiento matemático y su impacto en el aprendizaje de las estructuras aditivas.
Por consiguiente, el estudio de casos permitió una exploración exhaustiva de los
procesos cognitivos y educativos relacionados con el razonamiento matemático aplicado a
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las estructuras aditivas. A través de análisis detallados de trabajos en el aula, se pueden
captar matices y detalles que otros métodos pueden pasar por alto.
Este hecho parece determinar que, el uso de múltiples fuentes de datos (contexto,
observaciones en el salón de clase, análisis de documentos, análisis de trabajos y
exámenes) permite recopilar y analizar resultados del trabajo de campo. Asimismo, este
método se complementa con la metodología Investigación Acción Participación (IAP) de
acuerdo con Colmenares (2012):
…La investigación-acción participativa o investigación-acción es una
metodología que presenta unas características particulares que la distinguen
de otras opciones bajo el enfoque cualitativo; entre ellas podemos señalar la
manera como se aborda el objeto de estudio, las intencionalidades o
propósitos, el accionar de los actores sociales involucrados en la investigación,
los diversos procedimientos que se desarrollan y los logros que se alcanzan. (p.
105)
En consonancia con los referentes teóricos, estas metodologías se complementan en
la recolección y análisis de resultados en la investigación, aumentando la validez,
confiabilidad y la triangulación de los hallazgos. Esta triangulación es crucial para
desarrollar una comprensión de cómo el razonamiento matemático influye en el
aprendizaje. La investigación se basó en el paradigma post-positivismo que, en palabras
de Ramos (2015):
…Lo real se entiende desde las leyes exactas, sin embargo, ésta únicamente
puede ser entendida de forma incompleta. Una de las razones para no poder
lograr una comprensión total y absoluta de la realidad se basa en la
imperfección de los mecanismos intelectuales y perceptivos del ser humano,
lo que lo limita para poder dominar todas las variables que pueden estar
presentes en un fenómeno. (p. 11)
Por tal razón, haber adoptado este paradigma de investigación favoreció la correcta
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aplicación del enfoque mixto y está a su vez la elección de los métodos de estudio de
casos y la IAP, permitiendo esa correcta interacción entre las variables cuantitativas y
cualitativa, comprendiendo que los datos obtenidos desde los puntajes tanto en las
pruebas diagnóstica, como en las diferentes sesiones de intervención de aula. En este
reporte se manejó un nivel investigativo descriptivo y se hizo énfasis en los resultados
cuantitativos, sin que esto signifique la presencia de aspectos cualitativos en la exposición
y análisis de los resultados.
Esta investigación se llevó a cabo mediante la implementación de una prueba
diagnóstica inicial y cuatro sesiones de intervención estructuradas. Los resultados de la
prueba diagnóstica y las observaciones realizadas durante las sesiones fueron
fundamentales para la recolección de la información.
El objetivo con la prueba diagnóstica, era evaluar el nivel de comprensión de los
estudiantes sobre las estructuras aditivas antes de la intervención. Esta prueba estaba
compuesta por 10 preguntas contextualizadas al ingenio manuelita, ya que es la principal
fuente de empleo para los acudientes, también se caracteriza por la argumentación de la
solución a cada pregunta, pues se dejaron unas líneas para que el estudiante argumente el
motivo de su respuesta. La prueba fue administrada en un ambiente controlado y
supervisado, asegurando condiciones uniformes para todos los participantes.
Las sesiones de intervención se llevaron a cabo en cuatro sesiones, cada una con una
duración de 4 horas. La primera sesión se realizó la introducción a la estructura aditiva con
el planteamiento de situaciones problemas teniendo presente la categoría de cambio,
donde se utilizaron materiales manipulativos para la descomposición de números, fichas
de trabajo, planteamiento y solución de situaciones problemas con sus respectivas
argumentaciones a los procesos matemáticos. Con el objetivo de facilitar la comprensión
inicial de la suma y la resta mediante el uso de herramientas visuales y la solución de
problemas de la categoría de cambio.
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En la segunda sesión se desarrollaron estrategias de cálculo y agrupamiento,
además, el planteamiento de las situaciones problemas fueron diseñadas con la categoría
de combinación. A fin de que, estas situaciones problemas se diseñaron teniendo en
cuenta la estructura de conocer la cantidad total y una de sub-cantidad y desconocer la
otra sub-cantidad, en igual forma, se puede presentar que se conozca las dos sub-
cantidades y desconocer la cantidad total. Como resultado, se pretende desarrollar
estrategias de cálculo mental y la aplicación de propiedades conmutativas y asociativas.
También, el planteamiento y solución de situaciones problemas con la categoría de
combinación, donde los educandos reconozcan que un problema de combinación tiene
tres cantidades relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas. Luego, es
importante mencionar que, la argumentación de sus respuestas es relevante, para
reconocer el razonamiento matemático que emplea el estudiante en esta segunda sesión.
Bajo esta perspectiva, se realizó la tercera sesión, que se enfoca en la resolución de
problemas contextualizados de la vida cotidiana, el diseño de estos problemas involucra la
categoría de comparación. Por esta razón, la relación entre las cantidades se establece
utilizando los términos más qué, menos que. Además, la información de las situaciones
problemas se presenta en tablas de datos, un cuadro donde el estudiante propone la
operación que soluciona la situación y unas líneas para que explique la razón de los
procedimientos, argumentando el resultado y la respuesta a la pregunta problema. Como
objetivo, en esta sesión se buscó promover no solo la competencia matemática de los
estudiantes, sino también habilidades de pensamiento crítico y comunicación efectiva.
Finalmente, en la cuarta sesión, nos enfocamos en la discusión y justificación de los
procesos empleados en las estructuras aditivas y el planteamiento y solución de
situaciones problemas, abriendo espacios grupales sobre las diferentes formas de resolver
un problema. Por ello, en esta sesión empleamos la categoría de igualación, donde la
acción hay que realizarla sobre el mayor de las cantidades en cuyo caso se tiene una
separación-igualación, también, la acción se realiza sobre la menor de las cantidades en
este caso se tiene una unión-igualación. En consecuencia, la guía de trabajo para esta
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sesión se diseñó teniendo presente esta categoría, con el objetivo de fomentar la
argumentación matemática, la capacidad de justificar la solución y la busque de diferentes
formas para solucionar situaciones problemas.
En este orden de ideas, es interesante resaltar que, durante cada sesión se
realizaron observaciones detalladas del comportamiento y desempeño de los
participantes. Estas observaciones se centraron en la participación activa, la correcta
aplicación de estrategias, las dificultades encontradas y el trabajo en equipo. También, los
resultados obtenidos en las diferentes fichas de trabajo en cada sesión, permitieron
cuantificar el nivel y el avance que se iba obteniendo en la medida que se iba avanzando
en las sesiones.
Para condensar en una reflexión final lo antes visto se puede indicar que, se utilizó la
triangulación de datos para asegurar la validez de los resultados, comparando la
información cuantitativa de la prueba diagnóstica, con las observaciones cualitativas de
las sesiones y los resultados cuantitativos de las fichas aplicadas en las cuatro sesiones.
Presentación, análisis y discusión de los resultados
En este trabajo de investigación, el tema que nos permite evidenciar la manera en
que influye el razonamiento matemático en la solución de situaciones problemas, son las
estructuras aditivas, estas estructuras están categorizadas en cambio, combinación,
comparación e igualación.
Categorías que nos permitirá identificar habilidades, destrezas y fortalezas
adquiridas y por adquirir para la solución de situaciones problemas ubicadas en el
contexto, de igual manera, debilidades a superar que nos brindará la oportunidad de
identificar los avances, dificultades y progresos que han tenido los estudiantes dentro de
este proceso, desde la aplicación de la prueba diagnóstica, que nos abre la puerta a esta
experiencia de enseñanza aprendizaje de las matemáticas.
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Las cuatro sesiones donde se trabajan con los estudiantes cada una de las
categorías, permite evidenciar el progreso en el caminar de esta experiencia, así como
también, se verán reflejados algunos factores y dificultades que aún son persistentes en el
grupo cuándo de razonar matemáticamente se trata. Por este motivo, se crea los
siguientes niveles de evaluación que son tenidos en cuenta para evaluar la prueba
diagnóstica y las sesiones contemplados por MEN (2009) direcciona la escala de valoración
o de calificación nacional de los estudiantes en Colombia. Haciendo referencia a cuatro
niveles de desempeño: superior, alto, básico y bajo.
BAJO: Se ubican los estudiantes que no interpretan la lectura de la situación, no
identifican los algoritmos aritméticos adecuados para responder a la situación. Además,
no construyen argumentos o razonamientos que expliquen sus procedimientos; no
participan de forma activa en grupo y cuando lo hacen dan respuestas incoherentes, lo
que se refleja en casos donde no responden las actividades escritas propuestas.
BÁSICO: Se ubican los estudiantes que aplican los algoritmos aritméticos adecuados,
pero se les dificulta reconocer en qué situación problema debe emplearla. Además, no
construyen argumentos o razonamientos que expliquen sus procedimientos. No les gusta
el trabajo en grupo y responden las preguntas que entienden porque las preguntas que no
entienden no hacen el esfuerzo por buscar una solución.
ALTO: Se ubican los estudiantes que usan de forma correcta los algoritmos
aritméticos e identifican en la mayoría de los casos como resolver adecuadamente la
situación problema planteada. Asimismo, interpretan el problema, pero no demuestran
claridad y coherencia en los argumentos de la explicación frente a los resultados
obtenidos, trabajan bien en grupo y se esfuerza por buscar la solución a las situaciones
problemas que no entiende.
SUPERIOR: Se ubican los estudiantes que usan de forma correcta los algoritmos
aritméticos e identifican claramente cómo resolver la situación problema planteada. Estos
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estudiantes interpretan el contexto del problema, demostrando argumentos de forma
clara y coherente los resultados obtenidos, usando lenguaje propio del razonamiento
matemático. Trabajan muy bien en grupo y cumplen con todas las actividades.
Por consiguiente, esta escala de valoración permite categorizar a los estudiantes,
desde la prueba diagnóstica y el navegar de las sesiones, donde los resultados de las
diferentes actividades propuestas en las sesiones, permiten registrar las fortalezas y
debilidades del razonamiento matemático. Por lo tanto, en un primer momento se aplica
la prueba diagnóstica, discriminada en tres intervalos que contextualizan diferentes
formas de presentar una situación problema, como los son: intervalo 1 (las situaciones de
la vida cotidiana para el seguimiento de órdenes), intervalo 2 (la interpretación de gráficos
estadísticos) y el Intervalo 3 (la lectura de tablas de datos). En la tabla 1 y en la figura 1, se
observa el nivel de acuerdo a los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica.
Tabla 1
Resultado prueba diagnóstica.
Intervalo 1
Intervalo 3
Promedio
𝒙
Porcentaje %
BAJO
1
7
6,7
37,2%
BÁSICO
12
5
7,3
40,6%
ALTO
2
3
2
11,1%
SUPERIOR
3
3
2
11,1%
Total
18
18
18
100%
Fuente: Autores
Los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica, permiten identificar que, del
total de la población de estudio, en promedio 14 estudiantes correspondientes al 77,8% se
encuentran en la escala bajo y básico. Es decir, que son estudiantes que lograron acertar
en algunos casos la respuesta de opción múltiple, pero no tienen la capacidad de
relacionar su respuesta con la situación presentada, así mismo se les dificultad la
interpretación de gráficas y tablas de datos, demostrando la incapacidad para expresar de
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manera razonable una justificación de la respuesta seleccionada.
Figura 1
Resultado prueba diagnóstica.
Fuente: Autores
También, es destacable mencionar que dos estudiantes correspondientes al 11,1 %,
fueron ubicados en nivel alto, tuvieron un acercamiento a la argumentación de las
respuestas, pero no lograron la coherencia a la explicación requerida. Por otra parte, un
mismo porcentaje logra ubicarse en la escala superior. Como resultado, se puede afirmar
que la gran mayoría de los estudiantes no cuentan con la capacidad para aplicar procesos
de razonamiento matemático, que favorezca la validación de soluciones en situaciones
problema en el ámbito de las estructuras aditivas.
Posteriormente, se implementa la intervención de aula con las cuatro sesiones,
donde se precisa analizar cada uno de los procesos en los que son protagonistas nuestros
estudiantes, frente a la construcción y el desarrollo del razonamiento matemático para la
solución de situaciones problemas en las estructuras aditivas. De acuerdo, a los resultados
obtenidos y a lo observado en el desarrollo de las sesiones, los educandos se ubicaron en
las escalas como se muestra a continuación en la tabla 2 y figura 2.
0
2
4
6
8
10
12
14
BAJO BÁSICO ALTO SUPERIOR
Intervalo 1 Intervalo 2 Intervalo 3
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Tabla 2
Resultados de las sesiones y sus categorías.
Sesión
Sesión de Cambio
Sesión de Combinación
Sesión de Comparación
Sesión de Igualación.
Actividad
1
Actividad
2
𝒙
%
Actividad
1
Actividad
2
𝒙
%
Actividad
1
Actividad
2
𝒙
%
Actividad
1
Actividad
2
𝒙
%
BAJO
2
2
2
11,1
2
4
3
16,7
2
1
1,5
8,3
2
2
2
11,1
BÁSICO
11
8
9,5
52,8
11
8
9,5
52,8
4
2
3
16,7
2
4
3
16,7
ALTO
4
6
5
27,8
4
5
4,5
25
10
8
9
50
4
5
4,5
25
SUPERIOR
1
2
1,5
8,3
1
1
1
5,5
2
7
4,5
25
10
7
8,5
47,2
Total
18
18
18
100
18
18
18
100
18
18
18
100
18
18
18
100
Fuente: Autores
Figura 2
Resultados de las sesiones y sus categorías.
Fuente: Autores
Se puede observar en la información presentada, el orden, las actividades realizadas
y los resultados obtenidos por los estudiantes, ubicándolos en una escala evaluativa, de
acuerdo a los desempeños realizados, participación y los resultados obtenidos en las
actividades elaboradas por los niños. Asimismo, se puede interpretar el avance que
presentan los estudiantes en su desarrollo del razonamiento matemático para la solución
de situaciones problemas. Sin embargo, se puede contemplar la persistencia de un
pequeño número de estudiantes que aun presenta dificultades en la interpretación,
0
2
4
6
8
10
12
Actividad 1 Actividad 2 Actividad 1 Actividad 2 Actividad 1 Actividad 2 Actividad 1 Actividad 2
Sesión de Cambio Sesión de Combinación Sesión de Comparación Sesión de Igualación.
BAJO BÁSICO ALTO SUPERIOR
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argumentación y solución de situaciones problemas.
Luego, en la tabla 3 se presenta un resumen de los promedios finales de las cuatro
sesiones, teniendo presente que se aproxima los resultados decimales al número mayor
en el nivel que tenga más estudiantes y se deja con el número menor donde haya menos
estudiantes. Este criterio también se aplica a los resultados de la prueba diagnóstica. Por
esta razón, se encuentra el promedio de estudiantes en números entero, que se ubicaron
en una respectiva escala y el porcentaje que estos estudiantes representan.
Tabla 3
Promedio final de las sesiones.
Sesión de
Cambio
Sesión de
Combinación
Sesión de
Comparación
Sesión de
Igualación
Promedio
𝒙
Porcentaje %
BAJO
2
3
1
2
2
11,1%
BÁSICO
10
10
3
3
7
38,9%
ALTO
5
4
9
4
5
27,8%
SUPERIOR
1
1
5
9
4
22,2%
Total
18
18
18
18
18
100%
Fuente: Autores
De acuerdo al cuadro anterior, se puede analizar que en las escalas valorativas bajo
y básico se encuentran un promedio de 9 estudiantes correspondientes al 50% que, a
pesar de la intervención de aula, persisten en no desarrollar una interpretación y
argumentación de las situaciones-problemas presentadas. Por otra parte, es evidente el
avance de un sector de la población correspondiente al 27,8% que se ubicaron en la escala
valorativa alto, logrando así, una argumentación de las situaciones problemas, porcentaje
de estudiantes que asimilaron la comprensión del porqué, a pesar, que tuvieron
dificultades en la coherencia de las ideas expuestas. Por último, se tienen 4 estudiantes
que corresponde al 22,2%, ubicados en la escala valorativa superior que lograron
desempeñarse de forma significativa en la construcción de los argumentos y cohesión de
sus ideas, para plasmar las competencias y habilidades del razonamiento matemático en
la solución de situaciones problemas de carácter aditivo.
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Finalmente, para comparar el impacto que tuvo la intervención de aula con el
avance en las competencias de razonamiento matemático, por parte de los estudiantes
que participaron en el proceso de investigación, se condensa los resultados finales de la
prueba diagnóstica y resultados de las cuatro sesiones en la tabla 4.
Tabla 4
Comparativo resultado prueba diagnóstica con resulta del promedio final de las sesiones.
Resultado final de prueba
diagnóstica.
Resultado final de las
sesiones.
Promedio
𝒙
Porcentaje
%
Promedio
𝒙
Porcentaje %
BAJO
6
33,3%
2
11,1%
BÁSICO
8
44,5%
7
38,9%
ALTO
2
11,1%
5
27.8%
SUPERIOR
2
11,1%
4
22,2%
Total
18
100%
18
100%
Fuente: Autores
En la tabla 4 se presenta la comparación de los resultados de la prueba diagnóstica
frente al promedio final obtenido por los estudiantes en las sesiones, de igual manera,
evaluar la efectividad de la intervención en el aula haciendo uso de las categorías aditivas,
con el fin de analizar la migración de estudiantes que inicialmente se ubicaron en los
niveles bajo y básico en la prueba diagnóstica, con respecto al número de estudiantes
ubicados en los mismos niveles de acuerdo al promedio final de las sesiones. En tal
sentido, se puede interpretar como los datos nos van mostrando el traslado de nivel de los
estudiantes, puesto que, en la prueba diagnóstica 14 estudiantes se ubicaron en las
escalas valorativas bajo y básico, representando un 77,8%.
Luego, en el resultado final de las sesiones se presenta que 9 estudiantes se
quedaron en esta escala de valoración que, representa el 50%. Sin embargo, estos
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resultados expresan una disminución de 5 estudiantes que son el 27,8% que participaron
del proyecto de investigación. Por esta razón, permite concluir que 5 educandos lograron
mejorar sus desempeños, ubicándolos en las escalas alto y superior. Por consiguiente, se
puede contemplar a la luz de los resultados un incremento de 3 estudiantes en la escala
valorativa alto y 2 estudiantes en superior.
Conclusiones
A través del análisis de los datos se puede concluir que, los estudiantes de grado
tercero participaron en una dinámica que no habían experimentado, donde tuvieron la
oportunidad de enriquecer sus procesos de aprendizaje con un enfoque de las
matemáticas diferente, no solo como un lenguaje lleno de números y símbolos, sino como
una construcción crítica y argumentativa que permite la comprensión de situaciones
contextualizadas en el marco de las competencias de razonamiento matemático.
En primer lugar, participaron en la prueba diagnóstica, la cual dejo entre ver el
panorama del grupo, donde en su mayoría los estudiantes demuestran el uso de
algoritmos de la adición para relacionar cantidades, pero lo hacen sin darle un trámite
lógico ni argumentativo, que permita relacionar la situación problema con la
implementación de sus estrategias de solución acordes a los procesos de razonamiento.
Además, en el desarrollo de esta prueba diagnóstica, los estudiantes tuvieron una aptitud
de asombro, porque expresaban que no habían realizado ejercicios con estas
características, lo cual, es un factor determinante, que puede influir en la seguridad por
parte de ellos para afrontar sus posibles respuestas.
Por otra parte, en la implementación de las sesiones se puede evidenciar un cambio
progresivo en la cantidad de estudiantes que se van clasificando en los diferentes niveles,
demostrando que varios estudiantes se iban acoplando a la metodología implementada e
iban potenciado su habilidades y competencias en la aplicación del razonamiento
matemático en las diferentes estructuras aditivas, reflejando un incremento progresivo en
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las escalas valorativas de alto y superior con porcentajes que demuestran el mejoramiento
continuo de algunos estudiantes durante la intervención de aula. Asimismo, la actitud de
los estudiantes durante el desarrollo de las sesiones fue cada vez de mayor aceptación, lo
que fomento la motivación y mejoramiento en las dinámicas de las clases.
Por último, es fundamental señalar que los resultados de los estudiantes ubicados
en las escalas valorativas de alto y superior en el promedio de las sesiones con respecto a
las cantidades obtenidas en la prueba diagnóstica, demuestra un mejoramiento de un
30,6% de aumento en la población, que refleja la adopción de habilidades propias del
razonamiento matemático, favoreciendo el análisis, argumentación y coherencia para
solucionar situaciones problemas de carácter aditivo. Por tanto, se concluye que los
estudiantes expuestos a nuevas metodologías, pueden potenciar sus procesos de
aprendizaje y competencias, en este caso del razonamiento matemático. De igual manera,
la actitud de los estudiantes hacia estas nuevas experiencias de aula, es totalmente de
aceptación y motivación, lo que puede reflejarse de forma paralela a los procesos de
mejoramiento reflejados en los resultados.
No se desea cerrar esta reflexión sin antes abrir la discusión que, a través de la
práctica del que hacer docente en matemáticas, se reconoce las bases del razonamiento
matemático en los estudiantes del grado tercero, los cuales se inician en el cambio del
pensamiento matemático desde una perspectiva concreta al paso de una perspectiva
abstracta, por consiguiente, los resultados de este estudio muestran la importancia de
emplear metodologías de enseñanza que prioricen el desarrollo del razonamiento
matemático en los estudiantes, especialmente en los grados iniciales.
Asimismo, resaltar la importancia de una metodología estructurada que requiere de
un enfoque de enseñanza más gradual y personalizada, pues, las dificultades están
relacionadas con factores externos e internos al aula, como el acceso previo a estrategias
de razonamiento, tiempo de trabajo, cumplimiento de programas o incluso aspectos
socioeconómicos.
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De igual manera, resaltar la propuesta de trabajar con situaciones del contexto
inmediato, facilitando el razonamiento, la comprensión y ejecución de procesos. También,
es importante resaltar que los estudiantes que participaron en actividades grupales
demostraron mayor habilidad para articular argumentos y resolver problemas en
conjunto. Por lo tanto, se recomienda reflexionar en dinámicas de grupo que fomenten el
dialogo y la solución conjunta de problemas matemáticos. Finalmente se deja para la
discusión ¿Por qué el razonamiento matemático es una competencia evaluada en las
pruebas estandarizadas y no, una metodología de enseñanza aprendizaje de las
matemáticas en las prácticas docentes?
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problemas contextualizados como estrategia de enseñanza – aprendizaje de las estructuras
aditivas. Dialógica, Revista Multidisciplinaria, 22(1), 131-158.
Oscar Andrés Ramírez Moreno
Magíster en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales por la Universidad Nacional, Colombia.
Docente de matemáticas con 20 años de experiencia en el sector oficial en Cali, Colombia.
Actualmente profesor en la Institución Educativa Técnico Industrial Antonio José Camacho, Sede
Marco Fidel Suárez de básica primaria de sector oficial de Cali, Colombia.
Rosembert López Betancourt
Magíster en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales, título obtenido en la Universidad
Nacional de Colombia. Docente del área de matemáticas con 17 años de experiencia en la
Institución Educativa de carácter oficial Semilla de la Esperanza Sede Vasco Núñez de Balboa en los
grados de secundaria y media, Institución ubicada en zona rural de la ciudad de Palmira, Colombia.