Enseñanza y aprendizaje de la trigonometría: Un abordaje desde las
investigaciones doctorales en educación matemática (pp 228-253)
Fernando Tercero Vitola de la Rosa
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Enseñanza y aprendizaje de la trigonometría: Un abordaje desde las
investigaciones doctorales en educación matemática
Teaching and learning trigonometry: An approach from doctoral research in
mathematics education
Ensinar e aprender trigonometria: Uma abordagem a partir da pesquisa de
doutorado em educação matemática
La trigonométrie dans la recherche: Doctorale internationale en didactique des
mathématiques
Fernando Tercero Vitola de la Rosa
Fernando.vitola@unitecnar.edu.co
Fundación Universitaria Antonio de Arévalo, Cartagena-Colombia
Recibido: 06 de noviembre 2022 / Aprobado: 09 de marzo 2023 / Publicado: 30 de abril 2023
RESUMEN
La trigonometría es un área fundamental de la matemática con muchas dificultades en
los procesos de aprendizaje y enseñanza. Este artículo describe el estado actual de las
investigaciones doctorales recientes sobre didáctica de la trigonometría, analizando los
vacíos existentes e identificando posibles temas de investigación. Se realizó una revisión
sistemática de 18 tesis doctorales relacionadas con los descriptores trigonometría y
funciones trigonométricas, obtenidas mediante buscadores académicos y repositorios de
diferentes universidades existentes en internet, utilizando como categorías de análisis los
objetos matemáticos abordados, la enseñanza, el aprendizaje, el currículo de matemática
y el contenido de trigonometría. El análisis realizado evidenció que existen deficiencias
conceptuales, pedagógicas y tecnológicas en los docentes, al igual que problemas de
comprensión de los alumnos cuando estudian la trigonometría. Se concluye que hay
pocas investigaciones relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de las funciones
trigonométricas, lo cual constituye una gran oportunidad para futuras investigaciones
doctorales.
Palabras clave: Educación matemática; Trigonometría; Funciones trigonométricas;
Tesis doctorales
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ABSTRACT
Trigonometry is a fundamental area of mathematics with many difficulties in the learning
and teaching processes. This article describes the current state of recent doctoral
research on the didactics of trigonometry, analyzing the existing gaps and identifying
possible research topics. A systematic review of 18 doctoral theses related to the
descriptors trigonometry and trigonometric functions, obtained through academic search
engines and repositories of different universities existing on the Internet, was carried out,
using as categories of analysis the mathematical objects addressed, teaching, learning,
the curriculum of mathematics and trigonometry content. The analysis carried out showed
that there are conceptual, pedagogical and technological deficiencies in teachers, as well
as comprehension problems of students when they study trigonometry. It is concluded
that there is little research related to the teaching and learning of trigonometric functions,
which constitutes a great opportunity for future doctoral research.
Key words: Mathematics education; Trigonometry; Trigonometric functions; Doctoral
theses
RESUMO
A trigonometria é uma área fundamental da matemática com muitas dificuldades nos
processos de aprendizagem e ensino. Este artigo descreve o estado atual da pesquisa
de doutorado recente sobre a didática da trigonometria, analisando as lacunas existentes
e identificando possíveis tópicos de pesquisa. Foi realizada uma revisão sistemática de
18 teses de doutorado relacionadas aos descritores trigonometria e funções
trigonométricas, obtidas por meio de buscadores acadêmicos e repositórios de diferentes
universidades existentes na Internet, utilizando como categorias de análise os objetos
matemáticos abordados, ensino, aprendizagem, o currículo de conteúdo de matemática
e trigonometria. A análise realizada mostrou que existem deficiências conceituais,
pedagógicas e tecnológicas dos professores, bem como problemas de compreensão dos
alunos quando estudam trigonometria. Conclui-se que há poucas pesquisas relacionadas
ao ensino e aprendizagem de funções trigonométricas, o que constitui uma grande
oportunidade para futuras pesquisas de doutorado.
Palavras-chaves: Educação matemática; Trigonometria; Funções trigonométricas;
Teses de doutorado
RÉSUMÉ
La trigonométrie est un domaine fondamental des mathématiques avec de nombreuses
difficultés dans les processus d’apprentissage et d’enseignement. Cet article décrit l’état
actuel des recherches doctorales récentes sur la didactique de la trigonométrie, en
analysant les lacunes existantes et en identifiant des sujets de recherche possibles. Une
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revue systématique de 18 thèses de doctorat liées aux descripteurs trigonométrie et
fonctions trigonométriques, obtenues par le biais de moteurs de recherche académiques
et de référentiels de différentes universités existant sur Internet, a été réalisée, en utilisant
comme catégories d’analyse les objets mathématiques abordés, l’enseignement,
l’apprentissage, la programme de contenu de mathématiques et de trigonométrie.
L’analyse effectuée a montré qu’il existe des lacunes conceptuelles, pédagogiques et
technologiques chez les enseignants, ainsi que des problèmes de compréhension des
élèves lorsqu’ils étudient la trigonométrie. Il est conclu qu’il existe peu de recherches liées
à l’enseignement et à l’apprentissage des fonctions trigonométriques, ce qui constitue une
grande opportunité pour de futures recherches doctorales.
Mots-clés: Enseignement des mathématiques; Trigonométrie; Fonctions
trigonométriques; Thèses de doctorat
INTRODUCCIÓN
En las últimas décadas ha tomado fuerza a nivel mundial una disciplina conocida
como educación matemática o didáctica de las matemáticas. Cabe resaltar, que la
primera denominación se utiliza en los países anglosajones, mientras que la segunda se
emplea en países como España, Francia y Alemania. El objeto de estudio de la educación
matemática es el análisis de las problemáticas educativas relacionadas con las
matemáticas, las cuales son investigadas a la luz de diferentes enfoques y teorías propios
de esta disciplina y con los aportes de algunas ciencias auxiliares como la matemática,
la filosofía, la psicología, la sociología, entre otras (Godino, 2010).
En consecuencia del desarrollo de la educación matemática como disciplina
científica, se ha incrementado el número de programas académicos de maestría y
doctorado a nivel internacional en esta área del conocimiento (Castro y Gómez, 2020), y
por consiguiente, también se evidencia un aumento en el número de publicaciones e
investigaciones de educación matemática de alto nivel, entre la cuales se destacan las
tesis doctorales, que representan uno de los principales requisitos para obtener el título
de doctor en educación matemática o denominaciones académicas afines.
Según Tolentino Sifuentes (2019), una de las principales problemáticas que
afrontan los estudiantes de doctorado es la selección del tema de su tesis doctoral, ya
que éste debe estar de acuerdo con el interés investigativo del doctorando, debe ser
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pertinente, realizable y permitir aportes novedosos en el campo de conocimiento
abordado. Un primer paso para la selección del tema de la tesis en los doctorados de
educación matemática consiste en la realización de una revisión sistemática de la
literatura existente en el área de la educación matemática en la cual se desea trabajar,
especialmente de las tesis doctorales que se hayan desarrollado en dicha área de
conocimiento en los últimos años, tal como se propone en este artículo para el caso
particular de la trigonometría.
De acuerdo con Mendoza (2020), la trigonometría tiene como objeto de estudio las
relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos, así como las funciones
asociadas a los ángulos, conocidas en la literatura especializada como funciones
trigonométricas. Esta rama de las matemáticas, según afirman Arhin y Hokor (2021),
constituye una parte esencial del currículo de matemáticas en la educación secundaria
en la mayoría de los países a nivel mundial, debido a que articula el álgebra, la geometría
y el razonamiento gráfico, al mismo tiempo que es un prerrequisito para el cálculo y otras
disciplinas como la física.
En el caso particular de Colombia, esto se evidencia en los estándares básicos de
competencias para el área de matemáticas definidos por el Ministerio de Educación
Nacional de Colombia (2006), para los grados décimo y undécimo de educación
secundaria, los cuales indican que el estudiante de este nivel de formación debe estar en
capacidad de describir y modelar fenómenos periódicos en un contexto real a partir de
las relaciones y de las funciones trigonométricas. En el mismo sentido, el Ministerio de
Educación Nacional de Colombia (2016), define los derechos básicos de aprendizaje
correspondientes al grado décimo de educación secundaria, los cuales establecen que
el estudiante en este grado debe comprender y utilizar funciones para construir modelos
matemáticos de fenómenos periódicos, resolver problemas y justificar sus soluciones.
Por otra parte, es necesario resaltar que la trigonometría es fundamental para el
aprendizaje en otros campos de las matemáticas, tales como el álgebra lineal, el cálculo
diferencial, el cálculo integral y las ecuaciones diferenciales, a la vez que favorece el
desarrollo de la creatividad, el pensamiento crítico, la argumentación y la solución de
problemas en los estudiantes. De igual manera, la trigonometría es una herramienta
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primordial para el estudio de otras disciplinas como las ingenierías y la arquitectura, en
las cuales se emplean modelos matemáticos que utilizan las funciones trigonométricas
para explicar, predecir o modificar el comportamiento de algunas variables presentes en
fenómenos reales (Weber, 2005).
La clase de trigonometría se convierte entonces en un escenario propicio para
investigaciones de carácter práctico en educación matemática. Estas investigaciones,
según lo explica Castro de Bustamante (2007), son las más próximas a la labor que
realiza el docente en el aula de clases y están relacionadas con el currículo, la planeación
de las actividades académicas, el diseño, implementación y evaluación de estrategias de
enseñanza y de aprendizaje, la utilización de recursos y los procesos de evaluación.
De acuerdo con Gur (2009), la matemática se caracteriza por ser una de las
asignaturas que causan más rechazo por parte de los estudiantes, muchos de los cuales
presentan un bajo rendimiento académico en esta área de formación. En particular, el
autor afirma que la trigonometría resulta más compleja y abstracta para los estudiantes
que otros contenidos de las matemáticas, dando lugar a concepciones equivocadas,
errores matemáticos y obstáculos en el aprendizaje, los cuales deben ser abordados
desde la investigación en educación matemática.
Montiel (2006), identifica varios contextos para el abordaje de la trigonometría, los
cuales se van desarrollando de manera secuencial a lo largo del currículo de matemáticas
en los diferentes niveles de formación. En primer lugar, se trabajan las razones
trigonométricas en un triángulo rectángulo, para posteriormente abordar la trigonometría
del círculo unitario, la cual permite realizar la transición hacia las funciones
trigonométricas y sus representaciones gráficas. La multiplicidad de representaciones de
los objetos matemáticos involucrados en la trigonometría, al igual que la transición entre
los diferentes contextos trigonométricos, contribuye con las dificultades que se presentan
en el aprendizaje y en la enseñanza de esta unidad temática, que son objeto de estudio
de la educación matemática.
En síntesis, dada la relevancia de la trigonometría como objeto de estudio en
educación matemática, es pertinente realizar una revisión de las investigaciones que se
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han desarrollado a nivel internacional recientemente. Como antecedente de este tipo de
trabajo, se destaca la revisión bibliográfica realizada por Scholz y Montiel (2017), en la
cual se analizan investigaciones relacionadas con las dificultades que se presentan en la
enseñanza y el aprendizaje de la trigonometría en el bachillerato, utilizando como fuente
los artículos científicos publicados en revistas reconocidas en educación matemática.
Por su parte, Romero y Farfán (2016), realizan una revisión del estado actual de las
investigaciones en el tema específico de las series trigonométricas de Fourier en el
contexto de la educación superior, en la cual se tuvieron en cuenta trabajos finales de
maestría, tesis doctorales y artículos publicados en revistas científicas. Este trabajo
evidencia la importancia de las funciones trigonométricas en el estudio de temas
complejos como el análisis armónico y el procesamiento digital de señales, los cuales
conforman el fundamento teórico para muchos de los avances tecnológicos existentes en
la actualidad.
De acuerdo con los planteamientos anteriores, se definió como objetivo de este
artículo, realizar una descripción del estado de las investigaciones doctorales en
educación matemática a nivel internacional en el campo de estudio de la trigonometría
en los últimos 17 años, analizando las posibles tendencias, los vacíos que se presentan
en esta temática e identificando temas para futuras investigaciones que pudieran ser
abordadas como tesis para optar al título de Doctor en Educación Matemática. Se espera
que este documento pueda servir a los estudiantes e investigadores en educación
matemática como punto de partida para nuevos trabajos relacionados con la enseñanza
y el aprendizaje de la trigonometría en los diferentes niveles educativos.
MÉTODO
En el presente artículo se llevó a cabo una investigación de tipo documental
consistente en la revisión sistemática de las investigaciones desarrolladas en los últimos
años en educación matemática, en el campo de estudio de la trigonometría y en el ámbito
internacional. La búsqueda de estas investigaciones se realizó a través de internet,
utilizando diferentes buscadores reconocidos de trabajos académicos tales como Google
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académico, ResearchGate, ERIC, TDX, TESEO, DIALNET y repositorios de distintas
universidades existentes en la web, usando como descriptores para la búsqueda las
palabras clave “trigonometría”, “funciones trigonométricas”, “educación matemática” y
“tesis doctorales” en diferentes idiomas.
Como criterio de selección para las investigaciones se decidió trabajar únicamente
con tesis o disertaciones doctorales, excluyendo otro tipo de documentos como los
trabajos de grado de maestría y de especialización o artículos científicos. En cuanto al
idioma, se realizaron búsquedas de investigaciones en español, inglés, francés, catalán
y portugués. Vale la pena destacar que en el caso de investigaciones en portugués no se
encontró ninguna investigación a nivel doctoral relacionada con la trigonometría. Se
descartaron algunas investigaciones en otros idiomas como el alemán, debido a la
dificultad para traducirlas y comprenderlas.
La ventana de tiempo utilizada inicialmente fue de 2018 a 2022, sin embargo, dado
que el número de tesis doctorales encontradas en esta temática en este período de
tiempo es bastante bajo, se decidió ampliar la ventana de tiempo y se tuvieron en cuenta
trabajos entre 2005 y 2022. Si bien es cierto que algunos de estos trabajos no son tan
recientes, se tomó la decisión de incluirlos por considerarlos buenos antecedentes de
investigación doctoral de la trigonometría.
Como resultado de la búsqueda realizada se obtuvieron 18 tesis doctorales.
Inicialmente se realizó una caracterización de dichos trabajos de acuerdo con diferentes
categorías, tales como el país y la institución de origen, el idioma en que fueron escritos,
para posteriormente analizarlos utilizando como criterios de comparación los propósitos
de las investigaciones, los objetos matemáticos estudiados, la enseñanza, el aprendizaje
y el contenido de la unidad temática referido a la trigonometría en los diferentes niveles
educativos.
De las 18 tesis doctorales revisadas, 11 están escitas en inglés, 3 en español, 2 en
francés y 2 en catalán. Como se puede observar, el inglés es el idioma en que están
escritas la mayoría de estas investigaciones. De acuerdo con el país donde se encuentra
la universidad en la cual se presentó la tesis, se hallaron 5 en Estados Unidos, 4 en
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España, 2 en Francia, 2 en Sudáfrica, 1 en Inglaterra, 1 en México, 1 en Perú, 1 en
Australia y 1 en Irlanda. En la mayoría de los casos, las investigaciones fueron
desarrolladas en el mismo país donde se encuentra ubicada la universidad, aunque una
de las tesis españolas fue realizada en Colombia y las tesis francesas trabajaron con
poblaciones en Francia, Vietnam y Camboya.
Las universidades donde se desarrollaron las investigaciones revisadas fueron:
Universidad de New Hampshire (Estados Unidos), Universidad del Estado de Illinois
(Estados Unidos), Universidad de Franklin (Estados Unidos), Universidad de Texas
(Estados Unidos), Universidad Autónoma de Barcelona (España), Universidad de
Valencia (España), Universidad de Granada (España), Universidad de París (Francia),
Universidad de Grenoble (Francia), Universidad de Sudáfrica (Sudáfrica), Universidad de
Kwazulu – Natal (Sudáfrica), Universidad de Warwick (Inglaterra), Instituto Politécnico
Nacional (México), Universidad Nacional Superior de San Marcos (Perú), Universidad de
Limerick (Irlanda) y Universidad de Western Sidney (Australia).
De acuerdo con la categorización realizada, es evidente que la trigonometría
representa un contenido de interés para la educación matemática en el ámbito
internacional, lo cual se refleja en las investigaciones doctorales realizadas en diferentes
países ubicados en los cinco continentes, escritas en diferentes idiomas, que involucran
a universidades reconocidas internacionalmente con sus líneas y grupos de
investigación.
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Objetos matemáticos investigados en las tesis doctorales sobre trigonometría
Con respecto a los objetos matemáticos abordados en la investigación doctoral,
aunque todas las tesis están relacionadas con la trigonometría, en cada investigación se
hace énfasis en uno o más objetos matemáticos específicos, los cuales son analizados
desde diferentes puntos de vista de acuerdo con el interés investigativo de los autores y
de sus posturas epistemológicas con respecto a la educación matemática.
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A continuación, se analizan los objetos matemáticos trabajados por cada uno de los
autores revisados: Las investigaciones realizadas por Chaar (2015), Costa (2015),
McMillian Jenkins (2022), Vilches (2007) y Walsh (2015) centran su estudio en los
conceptos básicos de trigonometría que se trabajan en la educación secundaria,
abordando objetos matemáticos como ángulos, sistemas de medidas angulares,
semejanza de triángulos, razones trigonométricas, solución de triángulos, identidades y
ecuaciones trigonométricas, teorema de Pitágoras, componentes de un vector, ángulos
notables, ángulos de referencia, ángulos de elevación y ángulos de depresión.
Por su parte Fiallo (2010) trabaja también el concepto de razones trigonométricas,
pero orientándolo hacia los procesos de demostración y argumentación, que según su
criterio son fundamentales para la enseñanza y el aprendizaje de la trigonometría.
Paradójicamente, en los lineamientos curriculares emanados del Ministerio de Educación
Nacional de Colombia (1998), no se hace énfasis en los diferentes métodos de
demostración que eran estudiados tradicionalmente en la educación secundaria
colombiana antes de la publicación de estos lineamientos.
Otros estudios, trabajan con objetos matemáticos derivados de los diferentes
contextos en que se aplica la trigonometría. Los trabajos de Chin (2013), McMillian
Jenkins (2022), Loeng (2019) abordan el contexto de la trigonometría del triángulo, de
igual forma, en las investigaciones realizadas por Chaar (2015), Chin (2013), McMillian
Jenkins (2022), Loeng (2019) y Ssebaggala (2018) se hace referencia al contexto de la
trigonometría del círculo, en tanto que Chin (2013) trabaja el contexto de la trigonometría
analítica. La trigonometría del triángulo hace referencia a triángulos rectángulos cuyos
ángulos son mayores que 0º y menores que 90º. La trigonometría del círculo se refiere a
ángulos de cualquier magnitud y signo, así como a las propiedades trigonométricas
representadas en forma gráfica. La trigonometría analítica aborda la representación de
las funciones trigonométricas en series de potencia y el uso de los números complejos
para relacionar las funciones trigonométricas y exponenciales. Montiel (2006), destaca
que estos contextos de la trigonometría se trabajan de manera independiente y aislada
del contexto en la enseñanza tradicional.
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Las funciones trigonométricas han sido uno de los objetos matemáticos con más
presencia en las tesis doctorales revisadas, en este sentido, Chaar (2015), Loeng (2019)
y Martín Fernández (2021) estudian la comprensión de las funciones seno y coseno.
Hertel (2013) analiza las funciones trigonométricas con respecto a sus aplicaciones
prácticas en las diferentes disciplinas, al igual que Montiel (2005), quien estudia las
funciones trigonométricas de manera general, haciendo énfasis en las prácticas sociales
que requieren de la aplicación de este tipo de funciones, y Nguyen (2011) quien aborda
las funciones periódicas y el concepto de periodicidad, particularmente en las funciones
trigonométricas y sus aplicaciones en la modelización de fenómenos físicos. Ortiz
Galarza (2017), Ssebaggala (2018), Tatira (2020) y Zeng (2019) se interesan más por las
diferentes representaciones de las funciones trigonométricas, incluyendo sus gráficas y
características.
El trabajo de Guerola (2018), más que un objeto matemático en particular, se dedica
a analizar los conceptos y problemas trigonométricos que aparecen en las obras antiguas
atribuidas a Ptolomeo y Clavius desde una perspectiva histórica. Estas investigaciones
de tipo histórico pueden ser útiles para contextualizar la enseñanza de la trigonometría y,
en algunos casos, servir como referentes para la organización del currículo en los
diferentes niveles educativos.
En cuanto a los objetos matemáticos y en particular aquellos que se utilizan en la
trigonometría, se observan diferentes posiciones, por ejemplo, Romero y Farfán (2016)
consideran que para poder comprender conceptos complejos como las series
trigonométricas de Fourier que se estudian en la educación superior, es necesario que
las funciones trigonométricas seno y coseno estén constituidas como objetos en las
estructuras mentales de los estudiantes, de manera que puedan ser manipuladas a través
de diferentes representaciones gráficas y numéricas. Weber (2006) por su parte, utiliza
el término precepto, acuñado por Gray y Tall, que indica que los conceptos de la
trigonometría constituyen una triada proceso – objeto – símbolo, de tal forma que los
procesos utilizados en las prácticas sociales generan los objetos matemáticos y los
símbolos que los representan.
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En los casos de Hertel (2013) y Montiel (2005) los objetos matemáticos son
concebidos como una creación del hombre y adquieren sentido en la medida que se
asocian a prácticas sociales que dan solución a los problemas del contexto en un período
de tiempo específico, a la vez que contribuyen al desarrollo de otras disciplinas diferentes
a las matemáticas, permitiendo la construcción de modelos que pueden ser utilizados
eficazmente para comprender, explicar y transformar la realidad.
Propósito de las investigaciones doctorales en educación matemática
Teniendo en cuenta el propósito de las investigaciones y las teorías de la educación
matemática empleadas por el investigador en su tesis doctoral, se encuentra que el tema
de la trigonometría ha sido analizado desde diferentes enfoques. Algunas de las tesis
analizan el aprendizaje de la trigonometría, otras se orientan al análisis de la enseñanza
de los temas de trigonometría por parte de los docentes y aquellas que se centran en el
análisis del currículo en los diferentes niveles de la educación. De igual manera, vale la
pena destacar que en las investigaciones se evidencia la utilización de diferentes teorías
de la educación matemática para analizar los procesos de enseñanza, aprendizaje y
evaluación en estudiantes, docentes en formación, docentes en ejercicio o incluso en los
textos escolares.
Investigaciones doctorales orientadas hacia la enseñanza de la trigonometría
Chaar (2015) utiliza como sujetos de estudio a docentes en ejercicio y docentes
en formación, describiendo las fortalezas y debilidades que presentan en cuanto a los
conocimientos de trigonometría, a la vez que analiza el impacto que tienen estos
conocimientos en la forma en que el docente retroalimenta el trabajo y el pensamiento
matemático del estudiante, todo esto en el marco de fundamentación de la observación
profesional (professional noticing) y en las teorías del aprendizaje situado, asumiendo
que la enseñanza y el aprendizaje no pueden ser apartados del contexto.
Chin (2013) por su parte, analiza la enseñanza en la educación superior a la luz
de las teorías del pensamiento matemático basadas en la percepción, la operación y el
razonamiento propuestas por autores como Piaget, Bruner, Skemp, Dienes, Tall, Van
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Hiele, entre otros. Este investigador a través de entrevistas y mapas conceptuales
construidos por los docentes, demuestra que los docentes de educación superior tienen
concepciones erróneas sobre algunos conceptos de trigonometría y presentan
dificultades para enlazar los diferentes contextos de la trigonometría, correspondientes a
la trigonometría del triángulo, trigonometría del círculo y trigonometría analítica.
Por su parte, Hertel (2013) hace referencia a los profesores a nivel de educación
secundaria y educación superior, contrastando la concepción de la enseñanza de la
trigonometría como la evolución histórica de los conceptos trigonométricos y la
concepción moderna de la trigonometría como herramienta que puede ser aplicada en el
desarrollo científico. A partir de este análisis, el autor teoriza sobre la forma en que los
docentes deben abordar la trigonometría para su aplicación en otras disciplinas diferentes
a las matemáticas, contribuyendo así con el desarrollo de la ciencia.
McMillian Jenkins (2022) analiza el impacto de la utilización de los computadores y
las herramientas tecnológicas en la enseñanza de la trigonometría en la educación
secundaria, concluyendo que las herramientas tecnológicas son un factor fundamental
para la motivación del estudiante hacia el estudio de estos temas. En el mismo sentido,
Lupahla (2020) evidencia con su investigación el impacto positivo que tiene la
implementación de una enseñanza de las funciones periódicas en la educación
secundaria basada en modelos implementados en Excel, en el desarrollo del
conocimiento tecnológico y pedagógico de los docentes.
Otro autor que hace referencia a la utilización de la tecnología en la enseñanza de
la trigonometría es Weber (2006), quien con su trabajo demostró las ventajas que
representa el uso de los computadores para la exploración de las relaciones geométricas
y numéricas entre los diferentes conceptos de la trigonometría, privilegiando así la
comprensión sobre el aprendizaje memorístico y mecánico que se observa en la
formación tradicional. Este autor recomienda que la enseñanza haga énfasis en lo
conceptual, en las múltiples representaciones y relaciones existentes entre los conceptos
trigonométricos, en el modelamiento matemático y en la solución de problemas.
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Martín Fernández (2021) analiza la comprensión y los significados de las funciones
seno y coseno en los docentes en formación utilizando cuestionarios semánticos desde
el enfoque ontosemiótico de la educación matemática. De manera similar, Ortiz Galarza
(2017) en su investigación se interesa por la comprensión de las funciones
trigonométricas, diseñando una secuencia de actividades que permiten al estudiante la
construcción de diferentes representaciones mentales de este objeto matemático.
Para el caso de la investigación doctoral realizada por Ssebaggala (2018) se
evidencia el trabajo con profesores de educación secundaria en formación, centrando el
interés en la forma en que estos docentes razonan cuando aprenden trigonometría. El
análisis se realiza a la luz de las teorías del razonamiento y de la argumentación,
aportando una secuencia didáctica basada en las líneas trigonométricas, la cual le
permitió realizar una caracterización de los tipos de razonamiento utilizados por estos
profesores. Dicha caracterización puede tener importantes implicaciones en cuanto al
mejoramiento de la enseñanza de las funciones trigonométricas.
Tatira (2020) también se dedica a trabajar con profesores en formación, pero se
interesa en indagar sobre los conocimientos en el área de trigonometría que poseen estos
docentes para la enseñanza en la educación superior. Se emplean teorías relacionadas
con el conocimiento matemático para la enseñanza. Este autor evidencia las debilidades
que presentan los docentes en formación en los contenidos de la trigonometría y en los
conocimientos pedagógicos. El autor reflexiona sobre las implicaciones de estas
debilidades en la enseñanza de la trigonometría en las instituciones sudafricanas.
Vilches (2007) orienta su trabajo hacia la enseñanza en la educación secundaria
utilizando teorías relacionadas con la enseñanza personalizada. Este autor diseña e
implementa un módulo didáctico para la enseñanza de la trigonometría en quinto grado
de secundaria de manera personalizada. La aplicación de este módulo evidenció mejoras
sustanciales en el rendimiento académico de los estudiantes con respecto al grupo de
control que recibió la formación de la manera tradicional.
El trabajo de Walsh (2015) es otro ejemplo de investigación orientada a la
enseñanza de la trigonometría en la educación secundaria. Este autor aplica un modelo
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de enseñanza en docentes que se encuentran en formación para enseñar en educación
secundaria. Su investigación doctoral se fundamenta en el modelo de Van Hiele y hace
uso de la teoría APOS y el concepto de descomposición genética propuestos por
Dubinsky. Realiza una adaptación del modelo de Van Hiele que ha sido ampliamente
utilizado para describir la forma en que las personas aprenden la geometría, para aplicarlo
al campo de la trigonometría. El modelo de enseñanza implementado evidencia mejoras
en la comprensión de los conceptos trigonométricos por parte de los estudiantes y puede
ser útil en el mejoramiento de la enseñanza de la trigonometría en la secundaria.
Finalmente, en este mismo esquema de formación, Zeng (2019) se dedica a analizar
el acompañamiento tutorial realizado por el docente, fundamentando su investigación en
las teorías relacionadas con el aprendizaje basado en modelos. Los aportes de esta
investigación se refieren a la construcción de un modelo de enseñanza a partir del
acompañamiento tutorial de estudiantes, los cuales trabajan individualmente con el tutor
en actividades que los orientan en la construcción de modelos y esquemas mentales que
permiten la comprensión de los conceptos trigonométricos y la solución de problemas.
Godino (2010), destaca la importancia del desarrollo profesoral, así como la
necesidad de generar investigaciones consistentes en la observación sistemática de
clases y en la organización didáctica de las actividades en el aula. Por otro lado, Gur
(2009), manifiesta la importancia de los errores del estudiante en la clase de matemáticas
y considera que la labor del profesor es observar al estudiante para identificar y corregir
sus errores, los cuales deben utilizarse como insumo para tomar decisiones didácticas y
diseñar actividades de aprendizaje.
Investigaciones doctorales orientadas hacia el aprendizaje de la trigonometría
Costa (2015) hace énfasis en el aprendizaje de los estudiantes que cursan la
educación secundaria obligatoria en España, para lo cual centra su análisis en las teorías
sobre dificultades, errores y obstáculos de aprendizaje tomadas de los trabajos de
Popper, Bachelard, Rusell, Lakatos y Rico. En el mismo sentido, Gur (2009) considera
que el origen de los errores del estudiante está en las concepciones erróneas y en los
obstáculos que se presentan en las lecciones de trigonometría, entre los cuales se
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encuentran el mal uso de los datos, la mala interpretación del lenguaje, inferencias lógicas
inválidas, definiciones distorsionadas y errores técnicos mecánicos.
Por su parte, Fiallo (2010) estructura su tesis doctoral en torno a los procesos de
aprendizaje de los estudiantes de décimo grado de educación secundaria en Colombia
basándose en las teorías histórico - epistemológicas de la demostración y de la
argumentación. También hace referencia a teorías de las representaciones mentales y
en particular al modelo de Van Hiele. Este autor desarrolla una propuesta de enseñanza
de las razones trigonométricas en la cual se privilegia el aprendizaje de los conceptos, el
desarrollo de habilidades para la demostración y la argumentación, la utilización de
entornos de geometría dinámica como herramienta de apoyo y basada en el modelo de
Van Hiele y la utilización de los mapas conceptuales.
McMillian Jenkins (2022) describe el impacto de la utilización de enseñanza asistida
por computador en el aprendizaje y las percepciones de los estudiantes con respecto a
la trigonometría, fundamentando su estudio de acuerdo con las teorías de representación,
visualización e instrucción asistida por computador. El autor concluye que, para los temas
de ángulos de referencia y componentes de un vector, la utilización de enseñanza asistida
por computador no evidencia grandes diferencias de aprendizaje en los estudiantes con
respecto a la enseñanza tradicional, sin embargo, sí impacta positivamente en las
percepciones del estudiante sobre la trigonometría y en su motivación para el estudio.
Por otro lado, Loeng (2019) enfoca su investigación hacia los procesos de
aprendizaje en estudiantes de secundaria de Francia y de Camboya. Esta investigación
sigue un enfoque antropológico de la educación matemática basado en las teorías de
Chavellard relacionadas con los significados personales e institucionales, la praxeología
y la transposición didáctica. También se hace uso de la teoría de las situaciones
didácticas de Brousseau. En esta investigación se diseñan cuestionarios que permiten
observar las debilidades que presentan los estudiantes en trigonometría, para
posteriormente proponer secuencias didácticas para introducir a los estudiantes de
ambos países en la comprensión de las funciones seno y coseno.
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En el mismo sentido, Lupahla (2020) en su investigación, aborda los procesos de
aprendizaje de funciones periódicas en educación secundaria. El trabajo se fundamenta
en el aprendizaje basado en la indagación y en las teorías relacionadas con las
representaciones mentales y la visualización. El autor resalta las ventajas que esto
representa en el proceso de aprendizaje de los estudiantes en el tema de las funciones
trigonométricas y sus características.
Por su parte, Martín Fernández (2021) trabaja la comprensión y el significado de las
funciones seno y coseno mediante la aplicación de cuestionarios semánticos a los
estudiantes. El análisis se basa en las teorías sobre conceptos, significados y sentido del
enfoque ontosemiótico de la educación matemática. Los estándares básicos de
competencia publicados por el Ministerio de Educación Nacional de Colombia (2006)
también consideran la comprensión como parte esencial para el desarrollo de las
competencias en matemáticas, entendiendo la comprensión no sólo como los contenidos
y sus redes conceptuales, sino también su aplicación en diferentes contextos. En este
documento también se hace referencia a la división del conocimiento matemático en
conocimiento conceptual y conocimiento procedimental, los cuales se complementan y
permiten el desarrollo de las competencias matemáticas.
Desde los estándares básicos de competencias para el área de matemáticas en
Colombia se recomienda “para un mejor aprendizaje de los estudiantes” iniciar con
situaciones de aprendizaje significativo mediadas en un entorno sociocultural, utilizando
estrategias que fomenten la participación activa del estudiante, a la vez que se
promueven las actitudes de aprecio, seguridad y confianza hacia las matemáticas. Se
identifican como componentes del conocimiento matemático los pensamientos numérico,
variacional, geométrico y aleatorio.
Nguyen (2011) en su investigación, trabaja con una población de estudiantes de
secundaria en los procesos de enseñanza de la periodicidad, para lo cual toma como
base la teoría de la ingeniería didáctica de Artigue, así como algunos elementos
relacionados con la praxeología tomados de Chevallard. La investigación se enfoca hacia
el concepto de periodicidad en los fenómenos físicos correspondientes al movimiento
circular uniforme y a las oscilaciones armónicas y propone mediante la ingeniería
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investigaciones doctorales en educación matemática (pp 228-253)
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didáctica una forma de trabajar la modelización de estos fenómenos físicos en un
ambiente de geometría dinámica para los estudiantes de secundaria.
La investigación realizada por Ortiz Galarza (2017) se centra en el estudio de las
múltiples representaciones mentales de las funciones trigonométricas en los estudiantes
de secundaria, siguiendo un enfoque cognitivo basado en las teorías de las
representaciones mentales de los objetos matemáticos. La autora concluye que estas
representaciones tienen un impacto positivo en la comprensión de las funciones
trigonométricas y sus aplicaciones en la modelización de situaciones y en la solución de
problemas.
Zeng (2019) se dedica a analizar los procesos matemáticos y la comprensión de los
conceptos trigonométricos por parte de los estudiantes de secundaria durante el
acompañamiento tutorial realizado por el docente. La investigación se fundamenta en las
teorías relacionadas con el aprendizaje basado en modelos. Este autor realiza una
caracterización de las principales dificultades encontradas en los estudiantes en el
aprendizaje de la trigonometría y da orientaciones sobre la forma de realizar el
acompañamiento tutorial.
Investigaciones doctorales orientadas hacia el currículo de trigonometría
Loeng (2019) realiza un análisis comparativo entre los currículos de trigonometría
en Francia y Camboya. De manera similar, Nguyen (2011) compara los currículos de
Francia y Vietnam sobre trigonometría. Se verifica que las temáticas abordadas en la
educación secundaria en estos países son bastante parecidas, de tal manera que dichos
autores proponen actividades con el propósito de superar las debilidades encontradas en
el aprendizaje de la trigonometría en estos países.
El trabajo de Montiel (2005) se dedica a analizar el currículo y la enseñanza de la
trigonometría en los diferentes niveles de formación a partir de la teoría
socioepistemológica propuesta por Cantoral. En esta tesis doctoral se desarrolla la
construcción social de la función trigonométrica, lo cual presenta una forma novedosa de
abordar la enseñanza de la función trigonométrica en el aula de clases y por ende abre
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un campo de investigación importante en la implementación de prácticas sociales que
permitan una mejor comprensión de la función trigonométrica en diferentes contextos.
En relación con los recursos instruccionales, Hertel (2013) realiza un análisis desde
los textos escolares, haciendo énfasis en las diferentes aplicaciones de la trigonometría
en disciplinas diferentes a las matemáticas para el avance científico. El análisis de los
textos escolares abre camino a muchas investigaciones en educación matemática, ya
que constituyen el insumo principal de los docentes para elaborar sus explicaciones y
para el diseño de las actividades de aprendizaje y evaluación.
La investigación desarrollada por Guerola (2018) es diferente a las demás
investigaciones revisadas, ya que plantea un análisis histórico de la trigonometría a partir
de los conceptos trigonométricos existentes en textos antiguos. En esta tesis no se
evidencia la utilización de teorías específicas de la educación matemática debido al
carácter histórico de la investigación. Este análisis histórico puede contribuir a la
organización del currículo de trigonometría en diferentes niveles de formación.
Análisis de la información recolectada
Con base en la información recopilada en las secciones anteriores, se puede
evidenciar que el número de investigaciones a nivel de tesis doctorales en educación
matemática, relacionadas con la trigonometría es bastante reducido, sin embargo, se
observa que hay interés de la comunidad de investigadores en educación matemática a
nivel internacional por estudiar las problemáticas de la enseñanza, el aprendizaje y la
evaluación de la trigonometría, lo cual se evidencia en la variedad de temas tratados en
las 18 tesis doctorales revisadas, que comprenden temáticas desde las más simples
hasta las de mayor complejidad en los diferentes niveles de formación.
Aunque en el presente documento solo se revisaron tesis doctorales, en la literatura
científica se encuentra gran variedad de publicaciones como trabajos de grado de
maestrías y especializaciones, así como artículos científicos sobre temas referentes a la
enseñanza, el aprendizaje y la evaluación de la trigonometría, mostrando que este campo
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de la educación matemática presenta diversidad de problemáticas que ameritan ser
investigadas en la actualidad.
Otro aspecto importante es el propósito que se persigue en cada una de las
investigaciones. Se encontraron investigaciones centradas en los docentes en formación,
en los docentes en ejercicio, en los estudiantes, en los textos escolares y en el currículo.
Adicionalmente, los trabajos se orientan hacia diferentes aspectos de la trigonometría,
entre los cuales se destacan la comprensión de los conceptos trigonométricos, las
representaciones mentales de los conceptos trigonométricos, el diseño de modelos de
enseñanza de la trigonometría, la modelización de fenómenos a partir de las funciones
trigonométricas, la evaluación y retroalimentación del trabajo de los estudiantes de
trigonometría, las concepciones de estudiantes y docentes sobre los objetos matemáticos
de la trigonometría, los contenidos de trigonometría en los diferentes niveles de
educación, la utilización de herramientas tecnológicas en la enseñanza y aprendizaje de
la trigonometría, la aplicación de la trigonometría en otras disciplinas científicas, el
conocimiento matemático y pedagógico necesario para la enseñanza de la trigonometría
y la caracterización de dificultades, obstáculos de aprendizaje y errores en el aprendizaje
de la trigonometría.
En cuanto a los objetos matemáticos abordados en las investigaciones también se
observa una gran diferenciación. En las investigaciones se presentan tres contextos para
el estudio de la trigonometría, los cuales son la trigonometría del triángulo, la
trigonometría del círculo y la trigonometría analítica. Cada uno de estos contextos incluye
diferentes objetos matemáticos y representaciones, lo cual dificulta la comprensión del
estudiante al realizar la transición de un contexto a otro a medida que avanza en el
desarrollo del currículo.
Por otra parte, las investigaciones son abordadas desde diferentes enfoques
epistemológicos y desde distintas teorías específicas de la educación matemática. Lo
anterior abre un abanico de opciones para los investigadores, quienes pueden enmarcar
su trabajo desde cualquiera de las teorías existentes en la educación matemática,
combinar aspectos relevantes de las diferentes teorías y enfoques existentes o incluso
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animarse a proponer nuevas teorías que permitan innovar en los procesos de enseñanza
y aprendizaje de la educación matemática.
De acuerdo con los aportes de las diferentes investigaciones revisadas, es claro
que existen limitaciones tanto en el conocimiento matemático como en el conocimiento
pedagógico por parte de los docentes en formación y de los docentes en ejercicio, lo cual
puede representar un obstáculo en el aprendizaje de los estudiantes que están a cargo
de estos docentes.
De igual forma, dada la complejidad que representan los temas de trigonometría
para los estudiantes debido a la cantidad de objetos matemáticos que se utilizan en la
trigonometría, sus propiedades y las relaciones existentes entre ellos, es común que
surjan dificultades y obstáculos en el aprendizaje. Es necesario entonces, abordar nuevas
investigaciones con el propósito de caracterizar estas situaciones y diseñar modelos de
enseñanza que permitan superar estas falencias, ya que la trigonometría es fundamental
para el estudio de temas más avanzados de las matemáticas como es el caso del cálculo
diferencial, el cálculo integral, las ecuaciones diferenciales, el cálculo vectorial, entre
otros. También vale la pena destacar que la trigonometría es una herramienta necesaria
en otras disciplinas como es el caso de la física, de tal manera que las deficiencias
conceptuales en trigonometría pueden impactar en la comprensión de los conceptos
físicos y en la resolución de problemas específicos de esta ciencia.
Como se expresó anteriormente, son muchas las problemáticas existentes en
educación matemática en el campo de estudio de la trigonometría, a la vez que son pocas
las investigaciones doctorales referentes a esta temática. Además, las investigaciones
realizadas dejan algunos vacíos que se convierten en oportunidades para desarrollar
investigaciones a nivel de tesis doctorales.
Una de las temáticas más importantes de la trigonometría y que ha sido poco
abordada en las investigaciones doctorales es el tema de las funciones trigonométricas.
Entre las investigaciones revisadas se observa que la mayoría de las que tratan este
tema hacen énfasis en las funciones seno y coseno, esto debido a que son las más
utilizadas en la modelización de fenómenos físicos. Existen muy pocos trabajos
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enfocados hacia las demás funciones trigonométricas (tangente, secante, cosecante y
cotangente) o hacia las funciones trigonométricas inversas.
Para la comprensión de las funciones trigonométricas existen múltiples
representaciones que permiten la visualización e interpretación de sus características y
transformaciones, lo cual abre un sinnúmero de posibilidades de investigación
relacionadas con estrategias que desarrollen la construcción de estas representaciones
mentales tanto en los estudiantes como en los docentes. Otra posibilidad puede ser el
análisis de las dificultades, obstáculos o errores en el proceso de aprendizaje de las
funciones trigonométricas por parte de los estudiantes. Este análisis puede servir también
como insumo para el desarrollo de modelos de enseñanza de las funciones
trigonométricas o como organizadores para el diseño curricular.
Muy pocas de las investigaciones revisadas realizan un análisis crítico de los textos
escolares. Podría pensarse entonces en investigar la forma en que los textos escolares
colombianos desarrollan la unidad temática de las funciones trigonométricas a la luz de
los lineamientos curriculares, estándares, competencias y derechos básicos de
aprendizaje. En el mismo sentido, podría realizarse un análisis del material audiovisual o
los videotutoriales sobre funciones trigonométricas existentes en la web y que son cada
vez más utilizados por los estudiantes como complemento del material de estudio que se
trabaja institucionalmente.
Finalmente, se puede trabajar en la modelización de fenómenos a partir de las
funciones trigonométricas, trabajo que puede ser enriquecido mediante la utilización de
software de simulación o entornos de geometría dinámica que hagan más eficiente la
enseñanza y el aprendizaje.
CONCLUSIÓN
De acuerdo con el objetivo planteado al inicio del artículo, se logró describir de
manera general el estado de las investigaciones doctorales relacionadas con la didáctica
de la trigonometría que fueron desarrolladas en los últimos 17 años a nivel internacional,
identificando las principales tendencias y necesidades investigativas en este campo del
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saber, lo cual constituye un valioso aporte para los investigadores de la educación
matemática, quienes podrán utilizar esta información como punto de partida para nuevas
investigaciones doctorales relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de la
trigonometría en los diferentes niveles educativos.
El análisis realizado evidencia la importancia de la trigonometría dentro del
currículo de matemáticas en los distintos niveles de formación, ya que permite la
articulación de diferentes contenidos de la matemática y es fundamental para el estudio
de otras disciplinas. Paradójicamente, se observó que el número de tesis doctorales en
este campo del saber es bastante reducido, pero como aspectos positivos vale la pena
destacar que se encontraron investigaciones desarrolladas en universidades reconocidas
de diferentes países y con gran variedad en cuanto a los objetos matemáticos abordados,
a las posturas epistemológicas que orientan las investigaciones y a los propósitos
investigativos, los cuales incluyen la enseñanza, el aprendizaje y el diseño curricular,
entre otros aspectos.
Con respecto a las posibles tendencias de las investigaciones doctorales
relacionadas con la trigonometría se destaca en primer lugar el estudio de las dificultades
en el aprendizaje de esta unidad temática que afrontan los estudiantes. Estas
problemáticas tienen entre sus principales causas la complejidad de los objetos
matemáticos estudiados por la trigonometría, la necesidad de conocimientos previos de
otros contenidos de la matemática como el álgebra y la geometría, la diversidad de
representaciones existentes para las funciones trigonométricas y la necesidad de trabajar
en diferentes contextos como la trigonometría de triángulos rectángulos, la trigonometría
del círculo unitario y la trigonometría analítica.
En relación con el aprendizaje de la trigonometría, es necesario indagar sobre las
dificultades, los obstáculos de aprendizaje y los errores de los estudiantes en la
asignatura de trigonometría. En ese orden de ideas, un área de investigación interesante
son las diferentes representaciones mentales que utiliza el estudiante para comprender
los conceptos trigonométricos y las relaciones existentes entre estos. Además, debe
prestarse especial atención a la transición entre los diferentes contextos de la
trigonometría por parte de los estudiantes, quienes generalmente comienzan estudiando
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las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo, para luego pasar a estudiar las
funciones trigonométricas en el círculo unitario y finalmente estudiar las gráficas de las
funciones trigonométricas y las series trigonométricas.
Una segunda tendencia son las investigaciones relacionadas con los problemas en
la enseñanza de la trigonometría. En este sentido, Las investigaciones revisadas
muestran grandes debilidades en los docentes, lo cual amerita que nuevas
investigaciones doctorales tomen como sujetos de estudio a los docentes en ejercicio y
a los docentes en formación, analizando sus habilidades para comprender los conceptos
de la trigonometría y realizar el proceso de transposición didáctica que permita la
apropiación de estos por parte de los estudiantes. También pueden resultar interesantes
las investigaciones sobre los modelos de enseñanza utilizados por los docentes en el
área de la trigonometría, incluyendo el uso de las nuevas tecnologías como las
calculadoras, los programas de geometría dinámica y las aplicaciones para realizar
gráficas de funciones.
Otro campo de investigación que debe ser abordado a nivel de investigaciones
doctorales es la unidad temática de trigonometría, tanto a nivel de educación secundaria
como a nivel de educación superior, realizando comparación de los contenidos
estudiados en los diferentes países, de tal manera que se pueda proponer un programa
sólido de trigonometría que brinde al estudiante los fundamentos que necesita para seguir
avanzando en el área de matemáticas y en otras disciplinas. De igual forma, es necesario
revisar el abordaje que hacen los textos escolares de los temas de la trigonometría,
teniendo en cuenta las estrategias narrativas utilizadas para explicar los temas, los
ejemplos, ejercicios y problemas que proponen y la forma en que se relacionan los
contenidos con el contexto.
Entre los objetos matemáticos que se trabajan en la trigonometría, uno de los que
más llama la atención de los investigadores son las funciones trigonométricas, dado que
estas permiten la construcción de modelos aplicables en diferentes disciplinas para la
comprensión de distintos fenómenos. La mayoría de las investigaciones relacionadas con
funciones trigonométricas se han orientado hacia la comprensión de las funciones seno
y coseno, quedando un vacío en el estudio de las demás funciones trigonométricas y de
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las funciones trigonométricas inversas, así como de las series trigonométricas que se
trabajan generalmente en la educación superior.
Se debe tener en cuenta que este artículo se ha limitado al análisis de tesis
doctorales, pero vale la pena resaltar que a nivel de trabajos de grado de maestría y de
artículos publicados en revistas indexadas reconocidas a nivel internacional se encuentra
una gran cantidad de publicaciones relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de la
trigonometría, lo cual demuestra que la didáctica de la trigonometría es un tema de mucha
actualidad y que despierta el interés de los investigadores en educación matemática.
CONFLICTO DE INTERESES
El autor declara que no existen conflictos de intereses para la publicación del
presente artículo científico.
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